Moyens d'apprendre à compter sûrement et avec facilité
NDLR. Deux cent ans après la mort de Marie Jean Antoine de Caritat, marquis de Condorcet, il est passionnant de se plonger dans la lecture de son dernier ouvrage, posthume : un manuel d'arithmétique élémentaire accompagné de notes méthodologiques ! On doit aux éditions ACL d'avoir réédité ce grand texte, de l'avoir accompagné d'une bibliographie complète et de nombreux articles ou commentaires sur les oeuvres de Condorcet, sur la genèse de ce traité d'arithmétique, sur ses aspects didactiques et pédagogiques, sur les moyens d'enseignement de l'époque.
Suite logique des principes théoriques et des projets législatifs élaborés tout au long de sa vie, ce texte du grand savant des "Lumières " est le premier, en langue française, destiné à un enseignement de masse, devant de nombreux élèves. C'est aussi le premier manuel scolaire assorti d'un "livre du maître".
Nous en publions ici la première leçon et le début de la deuxième, pour que nos lecteurs puissent prendre conscience de l'intérêt historique et scientifique de ce document. A cette lecture on peut se demander si la modernité se situe bien là où on le croit et le dit.
Les notes à l'intention des instituteurs (N) sont séparées des leçons dans le texte original. Nous les avons intercalées ici dans les leçons, pour éviter les rappels et les passages du livre de l'élève à celui du maître.
Moyens d'apprendre à compter surement et avec facilité
NB: [Je ne mets pas le nom de la science dans le titre, parce qu'il faut en connoître les premiers élémens avant d'en bien entendre la définition.]
Première Leçon
N [J'ai conservé le mot leçon, malgré l'idée un peu pédantesque qu'il peut réveiller; car en employant un autre mot, il auroit en peu de tems le même sort.
D'ailleurs, la prétention de cacher le maître et l'instruction directe dans un enseignement public, est une chimère ; c'est vouloir jouer une plate comédie dont tous les enfans ont le secret.]
En voyant deux choses qui nous paroissent semblables, en portant notre attention d'abord sur chacune d'elles en particulier, puis sur les deux réunies, nous avons l'idée d'une chose et de deux choses, d'un et de deux.
Si, après en avoir vu une et deux, nous en voyons trois, quatre, nous voyons d'abord l'idée de un, puis celle de deux, de trois, de quatre, qui ne sont pas un, et qui diffèrent entre eux : nous avons donc l'idée d'unité, et celle de ce qui est un répété plus ou moins de fois, c'est l'idée de nombre .
NB: [L'Instituteur aura soin d'expliquer ici aux Élèves, comment l'idée de nombre, née de la perception simultanée de plusieurs choses semblables, s'étend à des choses non semblables.
Il leur dira, qu'alors on suppose à ces choses différentes, une qualité semblable : on les considère seulement par rapport à cette qualité.
Ainsi on a dit, une pomme et une pomme, sont deux pommes ; ensuite, une pomme et une poire ; sont un fruit et un fruit, sont deux fruits ; puis encore, une pomme et une poire, sont un corps et un corps, sont deux corps.
Enfin, on a fini par ne pas même considérer ces qualités semblables : on dit, une chose et une chose, sont deux choses : un et un sont deux, en considérant ces deux choses comme ayant une qualité semblable quelconque, par rapport à laquelle on pouvoit les considérer comme les mêmes.
Lorsque vous considérez une qualité commune à plusieurs objets, sans faire attention à celles qui les distinguent, et séparant l'idée de cette qualité commune, de celles des autres qualités, on dit que l'idée de cette qualité est une idée abstraite, parce qu'on la sépare, ou l'abstrait des autres qualités avec lesquelles elle se trouve dans les divers objets. On l'appèle aussi idée générale, parce qu'elle est celle d'une qualité, ou de plusieurs qualités, qui sont communes à des objets, d'ailleurs différens.
Plusieurs objets qui ont une ou plusieurs qualités communes, forment un genre d'objets.
Je ne crois pas nécessaire d'analyser en détail, pour les Élèves, les idées exprimées par les mots perception, attention, idée, objet, qualité; il suffit de leur en faire comprendre le sens par des exemples.]
On a donné des noms aux nombres; ainsi, un ajouté à un s'appèle deux ; est la même chose que deux, est égal à deux ; un et un sont..... Deux.
Un ajouté à deux, ou, ce qui est la même chose, à un et à un, s'appèle trois, est égal à trois ; un et deux sont..... Trois.
Un ajouté à trois, s'appèle quatre, est égal à quatre ; un et trois sont..... Quatre.
Un ajouté à quatre, s'appèle cinq, est égal à cinq ; un et quatre sont..... Cinq.
...
Un ajouté à deux, est la même chose que deux ajouté à un, puisque ce sont toujours deux choses et une chose que l'on considère comme réunies.
Un et deux sont trois ; un et trois sont quatre ; quatre est donc la même chose que deux auquel on ajouteroit un et puis un ; que deux auquel on auroit ajouté deux ; que deux et deux; deux et deux sont quatre.
Ainsi quatre, ou un auquel on auroit ajouté un, puis un, puis encore un ; deux et deux, trois et un sont la même chose, sont nombres égaux.
...
Huit et un sont neuf, et un sont dix ; donc huit et deux sont dix. Nous avons vu déja que cinq et trois étoient huit ; donc cinq, trois, et deux, sont dix .
On dit encore : la somme de cinq et trois est huit ; la somme de six et un est sept ; la somme de cinq, trois et deux, est dix.
N [L'Instituteur fera observer, que quand on dit un et un sont deux ; un et un, et puis encore un, sont trois ; un et deux sont trois ; cela signifie que l'expression deux ; l'expression un et un, et l'expression deux ; l'expression un et un, et puis encore un, et l'expression trois ; désignent une même idée, si l'on a égard au nombre seulement ; mais il n'en est pas moins vrai, que un et un expriment une chose et une autre chose, et que deux exprime ces deux mêmes choses considérées ensemble et comme réunies.
...
Les mots un, et un, et un, vous présentent immédiatement trois unités distinctes ; les mots un et deux, une unité, et une collection de deux unités ; le mots trois une collection de trois unités.
Ainsi, la proposition un et deux sont trois, n'exprime pas seulement, que j'appèle trois, un ajouté à deux ; mais elle signifie aussi, qu'en ajoutant un à deux, j'ai le même nombre qu'en ajoutant d'abord un à un, et ensuite encore un.
Cette observation a échapé à des Métaphysiciens célèbres.
On fera remarquer dans plusieurs propositions de cette espèce, (car il faut multiplier les exemples) les deux idées qui les forment, et le mot est, sont, qui expriment qu'il existe une identité partielle entre ces deux idées.
Celle pour qui l'on reconnoît cette identité, s'appèle le sujet ; celle en qui se trouve cette identité partielle avec la première, s'appèle attribut.
Dans la proposition deux est un nombre, vous reconnoissez une identité partielle entre l'idée de deux, collection de deux unités, et l'idée de nombre, collection d'unités en général.
Lorsque les enfans seront un peu exercés à dire, quatre et trois sont sept, cinq et quatre sont neuf, etc., on leur fera observer qu'ils adhèrent à ces propositions, quoiqu'au moment où ils les prononcent, ils ne se rappèlent pas distinctement comment ils ont appris à former le nombre sept, en ajoutant successivement à quatre un, puis un, et ensuite une unité.
On leur fera observer en même-tems, qu'ils se rappèlent distinctement que lorsqu'ils ont fait ces opérations, ils ont vu clairement que quatre et trois sont sept. Ils le croient donc avec confiance, parce qu'ils se souviennent être parvenus à percevoir l'identité partielle de ces deux idées, l'égalité entre ces deux nombres.
De-là, ils apprendront que le souvenir distinct d'avoir eu la perception de l'identité des deux idées qui forment une proposition, c'est-à-dire de l'évidence de cette proposition, est le seul motif qu'ils ont d'y croire, quand ils n'apperçoivent plus immédiatement cette évidence ; et que le souvenir seul d'avoir toujours répété ou écrit cette proposition, sans celui d'en avoir senti l'évidence, ne seroit pas un motif de croire.
... ]
La somme de deux nombres est le nombre que l'on trouve en les ajoutant l'un à l'autre : la somme de plusieurs nombres que l'on trouve, en les ajoutant successivement les uns aux autres.
Ainsi, vous savez déja exprimer les nombres jusqu'à dix, et de plus, former et exprimer leur somme, lorsqu'elle n'est pas plus grande que dix.
On pourroit de la même manière ajouter successivement des unités à dix ; et à chaque fois que l'on en ajouteroit une nouvelle, donner un nom au nombre qui en résulteroit ; mais on voit aisément combien la nécessité de retenir ces noms fatigueroit la mémoire ; d'ailleurs, à quelque nombre qu'on se fût arrêté, on pourroit encore y en ajouter d'autres ; il faudroit, lorsque l'on en auroit besoin, inventer des noms nouveaux ; et, pour se faire entendre, on seroit obligé de les expliquer aux autres, qui eux-mêmes, seroient obligé de les retenir : ainsi on a donc cherché des moyens d'exprimer tous les nombres avec un petit nombre de noms, de manière à être entendu de tous ceux àqui ce moyen seroit connu, quelque nombre que l'on voulût exprimer.
Ensuite on s'est apperçu que les comptes deviendroient très-longs, si on étoit obligé d'écrire le nom de chaque nombre ; et l'on a cherché à les exprimer, en écrivant par des signes qui pussent se former plus promptement : un s'écrit..... 1.
Un et un , ou deux , s'écrit..... 2.
Un et deux, ou trois , s'écrit..... 3.
Un et trois, ou quatre, s'écrit..... 4.
...
Un et huit, ou neuf , s'écrit..... 9.
Un et un, un plus un, s'écrit..... 1 + 1.
Un plus deux , s'écrit................... 1 + 2.
Le signe + entre deux nombres, signifie qu'on les considère comme ajoutés l'un à l'autre : un plus un est égal à deux , s'écrit..... 1 + 1 = 2.
Un plus deux est égal à trois , s'écrit..... 1 + 2 = 3.
Le signe = exprime que deux nombres sont égaux entre eux.
On a senti également la nécessité de pouvoir les exprimer tous par un petit nombre de signes, pour n'être pas obligé d'en avoir beaucoup à retenir, et d'introduire un signe nouveau, quand on auroit besoin d'écrire un nombre plus grand que ceux pour lesquels on auroit des signes : ces signes s'appèle des chiffres.
Cette manière d'exprimer tous les nombres par un petit nombre de mots, ou de chiffres, s'appèle numération ; et comme il étoit possible d'en trouver plusieurs, chacune d'elles s'appèle un systême de numération.
N [ On fera remarquer aux élèves la commodité des chiffres 1, 2... 9 qui tiennent moins de place, et s'écrivent plus vite que les mots un, deux...... neuf.
On fera la même observation sur les signes +, = ; on ajoutera que, par exemple, 3 + 6 = 9, est non-seulement écrit plus vite que trois plus six est égal à neuf, mais s'apperçoit aussi vite et d'un seul coup d'oeil.
Enfin, on fera observer que ces chiffres, ces signes, commes les mots un, deux...... neuf, sont arbitraires ; qu'on auroit pu choisir d'autres figures de chiffres ou de signes, d'autres mots, que ces mots ayant été une fois convenus entre un certain nombre d'hommes, ceux qui sont venus se joindre à eux, ont adopté cette même convention dont on les a instruits, comme on vient d'en instruire les Élèves, parce qu'il leur étoit commode d'entendre et d'être entendus: que ces mots varient dans les différentes langues, et que si les chiffres varient moins, c'est qu'on a senti l'avantage de les rendre communs, malgré la différence de langues, avantage qui s'est établi et conservé facilement, vu le petit nombre de ces signes.]
Seconde Leçon
Voici quel est le systême de numération actuellement en France.
Un ajouté à dix, dix et un s'appèlent..... Dix-Un.
Un ajouté à dix-un, ou deux ajoutés à dix, dix et deux,
s'appèle..... Dix-Deux.
Un ajouté à dix-deux, ou trois ajoutés à dix, dix et trois, s'appèlent..... Dix-Trois.
...
Un ajouté à dix-six, ou sept ajoutés à dix, dix et sept, s'appèlent.... Dix-Sept.
Un ajouté à dix-sept, ou huit ajoutés à dix, dix et huit, s'appèlent..... Dix-Huit.
Un ajouté à dix-huit, ou neuf ajoutés à dix, dix et neuf, s'appèlent .....Dix-Neuf.
Arrivés à ce terme, nous ne disons pas dix-dix, pour exprimer un ajouté à dix-neuf, ou dix et dix ; il est aisé de voir que ce moyen, si l'on le continuoit long-tems, conduiroit à former des noms trop longs, trop difficiles à reconnoître et à prononcer; on l'appèle donc duante : ainsi ;
Un et dix-neuf, dix et dix, s'appèlent..... Duante.
Un et duante s'appèlent..... Duante-Un.
Un et duante-un, duante et deux, s'appèlent..... Duante-Deux.
Un et duante-deux, duante et trois, s'appèlent..... Duante-Trois,
etc.
N [ On fera remarquer que les mots duante, trente ,quarante etc, dérivent des noms deux ,trois ,quatre, noms qu'exprime le nombre de dixaines exprimé par ces nouveaux noms. Cette observation rendra la signification de ces noms plus aisée à retenir.]
Un et duante-huit, duante et neuf, s'appèlent..... Duante-Neuf.
Un et duante-neuf, duante et dix, s'appèlent..... Trente.
Dès-lors vous voyez que trente et un s'appèle trente-un, et ainsi de suite jusqu'à trente et neuf, qui s'appèlent...... Trente-Neuf.
Par conséquent, on prononce :
Un et trente-neuf, trente et dix, par le mot..... Quarante.
...
Un et soixante-neuf, soixante et dix, par..... Septante.
Un et septante-neuf, septante et dix, par..... Octante.
Un et octante-neuf, octante et dix, par..... Nonante
N [Il m'a paru nécessaire de faire quadrer la numération parlée avec la numération en chiffres.
J'ai donc changé ceux des noms de nombre qui rompent l'analogie. Le changement sera même commode pour ceux des enfans très-jeunes qui ne savent pas encore compter; il ne peut avoir aucun inconvénient pour les autres; car il se borne pour eux, à la simple substitution du diante ou duante, au lieu de vingt; de dillion ou dullion, au lieu de milliard.
En effet, dire dix-un, dix-deux, au lieu de onze, douze, n'est pas employer un nouveau mot ; c'est seulement exprimer ce qu'on entend par ceux dont on se sert actuellement : pour conserver octente, on auroit pu dire huitente; mais on a octidi dans le nouveau calendrier, octogénaire dans le langage ordinaire, et octave en musique.]
On aura un moyen d'exprimer successivement tous les nombres, depuis un jusqu'à nonante-neuf, nonante et dix, par..... Cent.
Cent et cent, ou deux fois cent, par..... Deux Cent.
...
Ainsi de suite, en douze leçon sont abordées la numération, et les quatre opérations.